[기초통계학] 공분산(Covariance)

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공분산의 의미

공분산이라는 의미 자체가 생소하여 찾아본 결과 아래와 같은 의미를 가지고 있다.

둘 이상(以上)의 변량이 서로 관련성(關聯性)을 가지며 분포(分布) 하는 모양(模樣)을 전체적(全體的)으로 나타내는 분산

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즉, 두 가지 변량의 상관관계를 나타내는 값이다.

 

공분산을 읽는 방법

양의 상관관계 <----> 공분산 > 0

음의 상관관계 <----> 공분산 < 0

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p.s) 상관관계가 무엇인지 잘 모르시겠다면 아래 링크를 참고하시고 봐주세요.

https://develsw.tistory.com/102

[기초 통계학] 상관과 산점도

 

즉, 상관의 음양과 공분산의 음양은 일치한다.

양의 상관관계일 때는 공분산이 0보다 크고, 음의 상관관계일 때는 공분산이 0보다 작다.

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공분산을 구하는 방법

편차 곱의 평균

위와 같이 설명하면 이해하기 어렵기 때문에 아래 예시를 통해 알아보자.

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예시

번호	키(cm)	몸무게(kg)	편차 곱
1	111.6	20.1	-3.72
2	122.5	24.3	22.56
3	123.9	22.7	19.52
4	109.2	15.3	36.12
5	115.9	21.8	-4.37
6	128.3	23.2	38.85
7	115.3	19.1	1.00
8	111.4	12.8	42.88
9	121.7	19.7	0.78
10	118.6	16.2	-2.64
평균	117.8	19.5	​
표준편차	5.9	3.6

위와 같은 데이터가 있을 때 편차 곱을 각각 구해보자.

편차 곱은 (키-키의 평균)*(몸무게-몸무게의 평균) 값이다.

위와 같이 편차 곱의 평균(공분산) 은 15.1(cm*kg)이다.

공분산은 단위에 의존하기 때문에 단위가 중요하다. 만약 여기서 cm 단위를 m로 바꾸면 공분산은 0.01배가 된다.

여기서 공분산의 값은 양수이기 때문에 위 데이터의 키와 몸무게는 양의 상관관계를 가진다고 예측할 수 있다.

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위 데이터를 그래프로 그려서 산점도를 확인해 보면 아래와 같이 양의 상관관계를 가지고 있음을 확인할 수 있다.

 

공분산은 단위에 의존하기 때문에, 단위에 따라서 크기에 따라서 이 공분산 값이 얼마나 높은지에 대한 마땅한 기준을 마련하기가 어렵다.

단위에 의존하지 않는 상관계수를 공부해야한다.