지수 분포 (Exponential distribution)

지수 분포란?

지수 분포는 지난 게시글에서 배웠던 이산형 분포인 푸아송 분포와 연관이 있습니다.

2022.05.01 - [대학원/통계학] - 푸아송 분포 (Poisson distribution)

푸아송 분포 (Poisson distribution)

 

푸아송 분포는 특정 기간에서 사건의 발생 확률을 구하고 싶을 때 사용하는 이산형 분포입니다.

 

푸아송 분포에서 사건과 사건 사이의 대기시간은 연속형 분포를 따릅니다. 시간은 연속으로 흐르니까요.

 

다음과 같은 그래프가 있습니다.

 

x축은 시간을 의미하고, y축은 시간 x를 넣었을 때의 함수값을 의미합니다.

 

 

 

위 그래프에서 시간 W에서 사건이 발생한다고 가정해보죠.

 

지수분포는 푸아송 분포에서 사건이 처음 발생할 때까지의 대기시간이라고 말했습니다.

 

즉, 아래와 같은 부분의 넓이를 구하는게 목적입니다. 

 

우리는 지수분포의 PDF를 구할 때, CDF의 특징을 이용하여 구할 것입니다.

 

즉, 위 그래프에서 저 그래프의 적분 값은 1이되겠죠.

 

우리가 구하고자 하는 건 구간 [0,W]의 넓이값입니다.

 

아래와 같은 영역이 되겠죠.

 

위를 수식으로 표현한다면, 아래와 같습니다.

 

 

여기서, 푸아송 분포의 PDF를 다시 확인해보죠.

 

 

지수분포는 푸아송 분포에서 첫번째 사건이 발생할 때까지 대기시간의 분포라고 했습니다.

 

그러면 구간 [0,w]까지는 사건 발생이 안했으므로, 푸아송 분포에서 x 값은 0이 되어야겠죠.

 

또한, 푸아송 과정에서 사건은 평균적으로 λ(람다)를 따르는데, 구간 w동안 반복되므로, 평균적으로 사건이 λw만큼 발생한다고 할 수 있겠죠.

 

지금까지 과정을 아래의 수식으로 표현할 수 있습니다.

 

 

 

그러면, 아래와 같은 F(w)로 표현할 수 있습니다. CDF에서 미분을 하면 그 식에 대한 PDF로 표현할 수 있습니다.

 

 

이번 게시글에서는 지수분포의 pdf를 구해봤습니다.

 

중요한 점은 지수분포는 푸아송 분포로부터 이어져 있다는 것을 기억하시면 좋으실 것 같습니다!