[기초통계학] 확률변수의 독립성

개요

이번 게시글부터는 추정과 검정에 대한 방법을 알아볼 예정입니다.

 

추정

추정이란 모집단의 평균이나 분산을 데이터로 추정하는 것을 말합니다.

검정이란 모집단에 대해 2가지 가설을 세우고, 데이터를 토대로 더 정확하다고 생각되는 가설을 선택하는 것입니다.

​

추정과 검정을 효율적으로 실시하기 위해서는 표본을 모집단에서 무작위로 추출할 필요가 있습니다. 이와 같은 표본을 무작위 표본이라고 합니다.

무작위 표본은 이전 게시글에서도 봤습니다.

 

[기초통계학] 무작위 추출(Random sampling)

 

 

우리는 가지고 있는 데이터를 모집단에서 추출한 표본으로 간주합니다.

무작위 추출로 얻은 표본, 즉 무작위 표본은 모집단의 '대푯값'이며 모집단의 축소도일 것으로 생각합니다.

이 사실은 무작위 표본을 토대로 모집단에 관해 추측할 때 하나의 근거가 됩니다.

​

위 게시글에서 무작위 표본은 모집단의 각 개체를 똑같은 확률로 추출하여 얻은 표본이라고 정의했습니다.

하지만, 모집단의 개체 수가 무한일 때(무한 모집단)는 이 정의로는 해결할 수 없습니다.

그렇기 때문에, 무한 모집단에서도 무작위 표본을 다룰 수 있도록 무작위 표본을 일반화할 필요가 있습니다.

우선, 모집단은 확률분포이므로 확률의 개념을 이용해서 정의합니다.

​

확률변수의 독립성

이산 확률 변수 X와 Y가 서로 독립이라는 것은 X와 Y가 얻을 수 있는 모든 값에 대해 다음 식이 성립하는 것이라고 정의합니다.

​

어디서 많이 본 식 같지 않으신가요?

 

 

[기초 통계학] 사건의 독립성

 

위 게시글에서 확인했던 사건의 독립성과 연관이 있습니다. 즉,

사건 A와 사건 B가 서로 독립이라는 것은 아래 식이 성립한다는 것입니다.

​

즉 X와 Y가 독립이라는 것은 두 확률 변수가 얻을 수 있는 모든 값에 대해 사건 A={X=x} 와 사건 B={Y=y}가 독립이라는 것으로 생각할 수 있습니다.

​

즉, 사건 A가 사건 B에 어떤 영향도 끼치지 않는 것이라고 생각할 수 있습니다.

​

​